您可以使用HTML select元素和JavaScript来实现下拉框选择功能。您可以使用JavaScript创建和添加选项，也可以通过select对象获取当前选定项的值。以下是一个基本的示例代码：
HTML代码：
<select id="mySelect">
<option value="0">Option 1</option>
<option value="1">Option 2</option>
<option value="2">Option 3</option>
</select>
JavaScript代码：
var selectElement = document.getElementById("mySelect");
// 添加选项
var newOption = document.createElement("option");
newOption.value = "3";
newOption.text = "Option 4";
selectElement.add(newOption);
// 获取当前选中的值
var selectedValue = selectElement.options[selectElement.selectedIndex].value;
console.log(selectedValue);
在处理浏览器兼容性方面，您可以使用通用的JavaScript代码来确保在所有现代浏览器中正确工作，例如使用addEventListener()来添加事件监听器，以及使用setAttribute()来设置元素属性。您还可以使用polyfill或现有的JavaScript库来处理跨浏览器问题。